close

[課外補充]費氏數列

蜜蜂與數學

蔡聰明

雄蜂是由未受精的卵孵化出來的，故只有母親而沒有父親。進一步，我們考慮雄蜂的譜系，如圖六，我們發現一隻雄蜂歷代祖先的個數，形成一個費氏數列 (Fibonacci sequence)：

 

\begin{displaymath}1,1,2,3,5,8,13,\cdots\end{displaymath}


即由首兩項 1, 1 出發，任何一個後項都是前兩項之和。更有趣的是，若各代祖先適當排列的話，第七代的13位祖先恰好可以排成鋼琴八度音之間的13個半音階（8個白鍵，5個黑鍵）。

 

 

圖六

 

除了雄蜂譜系之外，費氏數學在植物世界偶爾也可以觀察到。有些花草或樹木，其枝幹的分枝成長符合費氏數列的模式，如圖七所示。

 

圖七

 

你以後到野外郊遊或登山時，可以留意觀察或找尋看看有沒有符合費氏數列的樹木。筆者曾在登七星山的途中，發現一棵非常「費氏數列」的樹木。懷著一個問題或目標走入大自然，我們才能真正觀察到東西，生活也會更積極主動。

 

事實上，費氏數列最先是考慮兔子的繁殖引起的。中世紀歐洲最偉大的數學家 Fibonacci（1180～1250）在1202年出版《算盤之書》(Liber Abaci)，其中有一個問題如下：

假設任何一對新出生的兔子，兩個月後開始生一對新兔，以後每隔一個月都生一對新兔。已知年初有一對新兔，在不發生死亡的情況下，問年底總共有幾對兔子？

假設第 n 個月底兔子總共有 an 對，則按題意知

\begin{displaymath} a_1=1 \; , \; a_2=1 \end{displaymath} (2)

 

並且

 

an+2=an+1+an (3)


 

 

(3)式是一個二階差分方程式，(2)式是初期條件。求解(2)與(3)就是要找出通項 an 的公式，這有種種辦法。最早是在1718年由 De Moivre 求得，後來在1843年又由 Binet 重新發現（兩位都是法國數學家），答案是

\begin{displaymath} a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n] \end{displaymath} (4)

 

此式今日叫做 Binet 公式，它含有兩個驚奇：其一是涉及黃金分割的比值 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，其二是整數數列 (an) 居然可用一些無理數的組合來表達。上述兔子問題的答案是 a12=144

arrow
arrow
    全站熱搜

    紀算補習班 發表在 痞客邦 留言(2) 人氣()

    E-mail轉寄